viernes, 28 de enero de 2022

El largo y peligroso camino de los numeros a las Xs

Los numeros son lo mas natural del mundo, los usamos para contar, para hacer operaciones en la tienda, para medir la cantidad de gasolina en el auto, para saber que distancia falta para llegar a nuestro destino, son tan indispensables que no podriamos vivir con ellos.

Pero las Xs, ¿que son las Xs y por que las necesitamos?, ¿no seria un mejor mundo si no tuvieramos que usarlas?, la verdad, no, asi como un niño no puede vivir por siempre en la cuna, las Matemáticas no pueden seguir siendo solo numeros.

Lo que se busca enseñar con las Matemáticas son:

  1. Aprender las Reglas Matemáticas de calculos especificos, como el Teorema de Pitagoras o la Derivación.
  2. Comprender la Herramienta basica mas poderosa de la Humanidad, las Matematicas
  3. Comprender y ejercitar la Logica.
  4. Aprender a usar el Pensamiento Abstracto, unico del ser humano y poder fundamental de la Imaginacion.
El Pensamiento Abstracto es aquel que nos permite darnos cuenta de cosas que no son aparentes, que no podemos comprender solo con los sentidos, para la cuales tenemos que razonar, que tenemos que probar su existencia, usualmente por medio de la experimentacion; hay muchos ejemplos de ello, desde el viento que podemos decir que esta ahi, al pensar que algo mueve los arboles o hace las olas en el agua.

Ejemplos

1. La existencia de los Virus y Bacterias, no sabiamos que estaban ahi y como nos afectaban, hasta que un cientifico no experimento con su microscopio y pudo verlos.
2 La Electricidad, ¿se imaginan un mundo sin electricidad?, viviriamos todavia en la era feudal, ¿quien ha visto la electricidad?, solo como relampagos en el cielo o aparatos haciendo corto circuito, pero un Fisico comprendio que estaba ahi, por medio de la experimentacion y la comprension matematica de un fenomeno, lo que les permitio a los Ingenieros hacer hidroelectricas, generar electricidad y permitir que nuestro mundo funcione.

Ejemplo de Abstraccion Matematica
(De donde surgen las Xs)

Supongamos que queremos sumar:

Tres naranjas mas cinco 5 naranjas, tendriamos 8 nasranjas, o en simbolos:

3 naranjas + 5 naranjas = 8 naranjas

Y si en vez de naranjas tenemos peras, entonces escribimos:

3 peras + 5 peras = 8 peras

Y si ahora sumamos Xoconoxtles:

3 Xoconoxtles + 5 Xoconoxtles = 8 Xoconoxtles

Y  si ahora sumamos:Brontosaurios que solo tengan tres patas:

3 Brontosaurios que solo tengan tres patas + 5 Brontosaurios que solo tengan tres patas = 8 Brontosaurios que solo tengan tres patas

Y si ahora sumamos: Posts de Facebook que contengan una palabra con mas de diez letras, pero menor que quince:

¡Ni crean que voy a escribir eso!

Porque no hace falta, como todos se habran dado cuenta hay una cierta regularidad:

3 de lo que sea + 5 de lo mismo = 8 de lo que sea

Y si en vez de escribir De lo que sea, escribimos una sola letra X, que todos acordemos que simbolice lo que nos interesa, entonces podemos hacer esto:

Si X = Post de Facebook que contengan una palabra con mas de diez letras, pero menor que quince:

Ahora solo tengo que escribir:

3X + 5X = 8X

Y asi es como se invento la X en matematicas, como una forma mas corta y elegante de hacer las cosas

Pero pronto se descubrio que servia para hacer muchas mas cosas, asi por ejemplo:

3 + X = 8

¿Que numero debemos sumar a tres para obtener ocho?, esto es, para poder hacer calculos mas facilmente, el anterior es un ejemplo, pero supongamos que eres un pastor en la antigüedad y tienes 1000 ovejas, pero solo hay 335 en el corral, ¿cuantas te faltan?, ya no tienes que contar una a una, basta con que hagas una simple operacion algebraica:

335 + X = 1000

Pronto se vio que no solo servia para la suma, sino para todas las operaciones, digamos la multiplicacion:

Si puedes recorrer a pie 5 kilometros cada dia, ¿cuantos dias te llevara recorrer 75 kilometros?

Aqui la incognita son los dias, asi que  X = dias

La ecuacion quedaria:

5X = 75

Solo despejamos la X  y obtenemos nuestra respuesta:

X = 75/5 = 15

Esto es 15 dias

Y asi es como surgio la X y la forma en que nos sirve tanto.
 

martes, 26 de octubre de 2021

Transversalidad o Matemáticas Aplicadas, no son lo mismo

 El problema de intentar aplicar conceptos de las Humanidades al mundo de la Ciencia, es que rara vez pueden funcionar, la razon es muy simple, no operan de la misma forma, no es posible enseñar Poesia usando el Calculo, ni visceversa, pero es un concepto que va en contra de los Dogmas de la Pedagogia, que piensa que todo se enseña igual, y esto no es cierto.

Transversalidad

La idea de la Educacion Transversal, es que una Materia puede apoyarse en otra para ser mejor entendida, asi, la Historia puede explicar la Batalla de Waterloo, apoyandose en la Geografía, y ambas puedes apoyarse en la Literatura, sobre las numerosas obras de Poetica o de Literatura que se escribieron sobre esta epica Batalla, reforzandose entre si, de tal forma que al final un alumno puede crear su Criterio, basandose en varias fuentes que se retroalimentan entre si.

Matemáticas Aplicadas

En cambio, en Ciencia, esto, en general, no es posible, ya que se opera de otra forma, las Matemáticas son el fundamento filosofico de las otras Ciencias,, así, las Ecuaciones de Segundo Grado son fundamentales para comprender la Cinetica o el Cálculo para el Electromagnetismo, esto es, son una herramienta que es necesario conocer antes de usarse, la Matemática Aplicada puede modelar practicamente todo fenómeno del Universo, pero requiere de Herramientas Avanzadas, que por lo general, estan ausentes de las capacidades de los estudiantes de Bachillerato, ya que lo que ellos llevan, son Materias Preparatorias para tener un set de herramientas basico, que podran ampliar y usar en la Licenciatura, en cierto sentido, es primero necesario saber usar el martillo, antes de hacer un mueble.

Pero pongamos un ejemplo mas claro, la Ciencia es como las Artes, es necesario manejar una serie de Conocimientos o Tecnicas basicas, ANTES de poder hacer Arte, Da Vinci no hubiera sido un buen pintor si antes no pudiese manejar las tecnicas basicas, como Perspectiva, Teoria del Color, Tecnicas del Pincel, ¿se imaginan pedirle que pintara la Ultima Cena, cuando aun nos sabia ni como combinar los colores?, eso es precisamente lo que pretende la Transversalidad, exigir a los alumnos, usar una herramienta que aun no conocen.

Matematica Abstracta e Inmediata.

Mientras que en Primaria, las Matematicas son de lo inmediato, y se aprende Aritmética, que es la mas aplicable de todas las areas de esta ciencia, en Secundaria se pasa a otra etapa, mas Abstracta, que es el Álgebra, este brinco conceptual no es facil, y muchos no lo logran hacer, pero es fundamental en la creacion de la Madurez Mental que se alcanza con el Pensamiento Abstracto, el fin ultimo de la Enseñanza de las Matematicas.

De hecho entre mas abstracto es el conocimiento, mas poderoso es, pero esto no se consigue ni se comprende inmediatamente, es necesario recorrer todo el camino, para poder comprender como se usa, asi el tema de Limites es tan abstracto, que en Bachillerato, practicamente es un juego mental, sin aparente relacion con lo Real, (y sin aplicaciones inmediatas visibles a simple vista), no es sino hasta que se sabe Integrar, que los alumnos estan capacitados para comprender como un concepto como el del Limite se puede usar para conceptos tan realies como la modelacion del Oleaje o del Sistema Cardiovascular, pero sin esta madurez matematica, es imposible comprenderlo.

Las reinas de la Matematica Aplicada son las Ecuaciones Diferenciales, pero llegar a ellas es un camino que lleva años recorrer, y que implica aprender muchos Conceptos Abstractos, aparentemente inaplicables, pero que en realidad son formativos para poder usar esta herramienta, pedirle a un alumno que los use para lo inmediato es simplemente no comprender como se usa la Matemaica.

sábado, 3 de julio de 2021

Raices Complejas

 La raiz negativa, en Álgebra no tiene solución, pero cuando redefinimos:

Entonces podemos escribir

Y de esa forma, ya tenemos solucion para las raices negativas.

¿Pero que es i?, a este numero se le llama Imaginario, pero no porque no exista, sino porque crea una nueva imagen, (si otra mala traduccion de los primeros tiempos de las Matematicas), en la cual, los nuevos numeros z se pueden definir como:

z=x+iy

En donde x, y son numeros reales, el numero i, solo define que y no es la variable dependiente, sino un nuevo numero (imaginario), con su propio eje, en un plano que ahora ya no es el Cartesiano, sino uno llamado de Argand:

Como se ve, el numero complejo z, puede ser representado, ya sea en su forma general, que mencione arriba o como:

z=(x,y)

Una forma vectorial, y asi todo punto en el plano de Argand, estara definido por una pareja de valores, uno real, (el eje x en el Cartesiano) y uno Imaginario (el eje y en el Cartesiano), y de esta forma, podemos usar muchas de las propiedades de los vectores para nuestro nuevo sistema numerico.

Los numeros complejos tienen muchisimas aplicaciones, en Electricidad, Mecanica de Fluidos, Astrofísica y mucho más.




sábado, 27 de marzo de 2021

Para que sirve el Algebra

El Algebra es muy famosa por ser el coco de no pocos estudiantes de Secundaria, incapaces de encontrarle una finalidad practica, de ver en que afecta su realidad, de poder tocarla y conocerla, creen que es absolutamente inutil, pero esta falsa impresion se debe mas a que sus profesores tampoco saben Algebra y no es raro que solo les repitan mecanicamente las palabras del Libro de Texto, sin haberlas entendido tampoco.

El Algebra es una de las mas poderosas herramientas de la Humanidad, que nos permite realizar operacion muy complicadas y de forma rapida, en cierta forma son las supercomputadoras de la Edad Media, nos permitio dejar de ser niños intelectualmente hablando y poder hacer calculos mucho mas complejos, con lo cual pudimos controlar mas elementos de la naturaleza, como la Arquitectura, la Ingenieria, la Medicina y casi cualquier otra ciencia.

El Algebra es un perfeccionamiento de la Aritmetica, que todo niño desde la epoca de las cavernas hasta la actualidad ha aprendido a manejar, siempre cinco manzanas mas dos manzanas han sido siete manzanas, y si nos comemos una, tendremos seis manzanas, si en la familia tenemos 4 miembros, tendremos que tener 7 x 4 manzanas, para que todos puedan comer una diario y en los viejos tiempos en que los niños aun recogian manzanas bajo los arboles, tenian que tomar al menos 28 manzanas para poder alimentar a su familia una semana. La Aritmetica de la Vida diaria, no comeriamos sin ella.

Pero el mundo cambio, las familias se volvieron tribus, y estas en sociedades, asi que ahora ¿cuantas manzanas necesitamos para alimentar un pueblo de 2200 habitantes por una semana?, facil, 2200 x 7, ¿y cuantos arboles necesitamos para hacerlo?, ¿cuantas hectareas de maiz se necesitan para alimentar a los habitantes de Teotihuacan?, estos problemas plantean algo nuevo, diferente, para lo que no tenemos respuesta, a menos claro, que contemos uno por uno de todos los valores y para numeros muy altos, esto se puede volver toda una odisea.

Hace falta un procedimeinto mas rapido para poder contar, para hacer operaciones aritmeticas mcuho mas rapidamente y  por primera vez tenemos una incognita X,  calcular su valor correcto usualmente significa saber si podemos comer o no, del Area desconocida dependera si nuestros hijos pueden vivir o no.

Asi por ejemplo, ¿Cuantos sembradores, cuidadores y cosechadores (X) necesitamos para poder alimentar una gran ciudad?, tendriamos que decir que si A es el Area del campo minimo para alimentar a esa poblacion, y n el numero de habitantes entonces:

X = A / n
o
nX = A

Seria el numero de personas que tendrian que dedicarse a cosechar.

Pero esta formula, que ya es Algebra, por tener VARIABLES y no numeros, es mucho mas poderosa, porque la podemos usar en cualquier parte del mundo, y para cosechar cualquier cosa, sea Arroz en Asia, Trigo en Europa o Maiz en America, y para cualquier tipo de ciudad, ya se a una enorme urbe como Tenochtitlan o un pequeño pueblito en la sierra; este conocimiento simple, permite evitar el hambre.


Autores: Mat. Josefina Santiago Muñoz y Capt. Sergio Tellez (USN) ret.

Cognicion Situada

Bajo el pretencioso titulo de Cognicion Situada, ha surgido una nueva teoria pedagogica, que como la mayoria, suenan bien en el papel, hacer que los alumnos aprendan usando cosas que existen en su medio, esto es, revivir la vieja idea de que aprendan de lo particular a lo general, que vean un papel en el suelo y generen el concepto de reciclamiento de desechos; desde hace siglos se ha usado, en el libro Confesiones de San Agustin se usa esa metodologia para encontrar el concepto superior, desde la percepcion de los sentidos, y ya desde aquellos lejanos tiempos se sabe que esto no es util para Matematicas.

Y lo es por la  propia naturaleza de la concepcion abstracta de esta Ciencia, que va "de lo general a lo particular", a partir de la Geometria y el Algebra, es primordial primero entender el Concepto Abstracto, para poder despues aplicarlo, primero tenemos que entender que es una Ecuacion de Segundo Grado, como representarla y como resolverla, antes siquiera de intentar aplicarla.

Y no es que no se pueda inferir la Matematica de la Realidad, sino que simplemente no hay tiempo en un curso de bachillerato para que los alumnos desarrollen solos la Ecuacion de Segundo Grado, de hecho la Matematica ha llevado siglos a las mejores mentes del mundo para ser desarrollada, no podemos esperar que un joven haga todo eso en un semestre, es por ello que se les proporciona conocimiento estructurado logicamente, sistematizado y simplificado.

O para poner un ejemplo, Cardano se llevo buena parte de su vida encontrando como se resolvia una Ecuacion de Grado Superior, no podemos pedirle a un alumno que lo haga en una semana.

Si se pretende que los alumnos aprendan Matematicas,  que en su forma sencilla es simplemente Aplicar el Conocimiento a la vida diaria, debemos empezar siempre por la Abstaccion, para despues pasar a la Aplicacion, es la mejor forma de enseñanza y la que ha dado mejores resultados, ya no debemos dejarnos ir con la primer moda que aparece, es mas importante usar el juicio profesional del Profesor que adoptar acriticamente la ultima moda de la Pedagogia, que despues de demostrar su inutilidad, solo es reemplazada por otra moda igual de inutil.

lunes, 15 de junio de 2020

El Polinomio de la Muerte

Una de las preguntas más frecuentes de los alumnos de niveles educativos medios es: ¿para qué sirven las Matemáticas?, y este es un ejemplo muy claro del para que:

El Polinomio de la Muerte

Las Matematicas se usan para comprender la realidad, poder predecir su comportamiento y actuar en consecuencia, a esto se le llama Modelar la Realidad.

Asi si vamos apuntando la cantidad de Muertes por Dia del Covid-19, se puede hacer una tabla (con datos hasta el 30 de mayo) de la siguiente forma:


Con su analisis estadistico


Y su gráfica
La curva que mejor se ajusta es un Polinomio de tercer grado, de la forma:


y = 345.4590 - 76.0041x + 3.2608x2 – 0.0059x3

Este Polinomio nos indica como esta creciendo la cantidad de muertes y cual es la cantidad esperada para un dia dado, asi podemos extrapolar para el dia 80 (3 de Junio), con 12113 muertos, una cifra bastante cercana a la real.

Entre mas datos, sera mejor y mas exacta la ecuacion.

Calculos y grafica realizados con Calc